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【维度】数学漫步第一季（熟肉）

定义一个空间由X(Z)和Y(Z)直积而来，定义其中的一条直线，其中，其是四维空间的一个平面，与四维空间的单位球交于一个圆，

即

即

令

设北极点为，过的点到南极平面的点为，因为三点共线所以

因此

根据上述公式编写代码

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import numpy as np

# y = k x 切 S3 球 北极投影到南极的图像

# define k
ka = 1
kb = 1


def get_proj(ka, kb):
    # way2 加入 s3 球条件
    xr = 1/(ka**2+kb**2+1)
    xr = xr**.5
    cnt = 200
    # 构建系数矩阵
    A = np.zeros((2,2))
    A[:,0] = ka
    A[0,1] = -kb
    A[1,1] = kb
    x = np.zeros((2, cnt))
    t = np.linspace(0,2*np.pi, cnt)
    x[0,:] = np.cos(t)*xr
    x[1,:] = np.sin(t)*xr
    y = np.matmul(A, x)
    ya = y[0,:]
    yb = y[1,:]
    xa = x[0,:]
    xb = x[1,:]
    kt = -2/(ya-1)
    X = yb * kt
    Y = xa * kt
    Z = xb * kt
    return X, Y, Z

# 画出投影后的三维S1
import matplotlib.pyplot as plt
# print(len(res))

fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')

# ax.scatter3D()
for i in range(10):
    rs = get_proj(ka, kb)
    ax.scatter3D(*rs)
    ka += 0.05
plt.show()

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